واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت.
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل میشدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی می‌گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
هندسه تصویری :
فرض کنید دو صفحه و در فضا داریم که لزوماً موازی یکدیگر نیستند. در این صورت، برای به دست آوردن تصویر مرکزی به روی از مرکز مفروض که در یا واقع نیست، میتوان تصویر هر نقطه از را نقطه‌ای چون از تعریف کرد که و روی یک خط راست گذرنده از قرار داشته باشند.
همچنین میتوان تصویر موازی را به این طریق به دست آورد که خطهای تصویر کننده را موازی در نظر بگیریم. همین‌طور تصویر یک خط در واقع صفحه به روی خط دیگری چون در هم به صورت تصویر مرکزی از یک نقطه ، و هم به صورت تصویر موازی تعریف میشود. تبدیل یک شکل به شکل دیگر از طریق تصویر موازی یا مرکزی و یا به وسیله رشته‌ای متناهی از این تصویر کردنها، تبدیل تصویری نامیده میشود.
هندسه تصویری صفحه یا خط عبارت از مجموعه آن گزاره‌های هندسی است که بر اثر تبدیلهای تصویری دلخواه شکلها تغییری در صدق آنها پدید نمی‌آید. در مقابل، هندسه متری به مجموعه‌ای از گزاره‌ها، راجعه به اندازه‌های شکلها، اطلاق میشود که فقط تحت حرکتهای صلب شکلها صادق می‌مانند.
..........................تصور کردن از یک نقطه......................................................................تصویرگری موازی
به بعضی از ویژگیهای تصویری فوراً میتوان پی‌برد. تصویر هر نقطه، یک نقطه است. به علاوه، تصویر هر خط راست، یک خط راست است زیرا اگر خط واقع در به روی صفحه تصویر شود، تقاطع با صفحه گذرنده از و ، خط راست خواهد بود. اگر نقطه و خط راست ملازم هم باشند. آنگاه پس از هر عمل تصویر، نقطه متناظر و خط متناظر نیز ملازم هم خواهند بود. پس ملازمت یک نقطه و یک خط تحت گروه تصویری ناورداست. این واقعیت، پیامدهای ساده ولی مهمی دارد. اگر سه یا تعداد بیشتری نقطه همخط باشند، یعنی ملازم با یک خط راست باشند، تصویرهای آنها نیز همخط خواهند بود. همچنین اگر سه یا تعداد بیشتری خط راست همرس باشند یعنی ملازم با یک نقطه باشند، تصویرهای آنها نیز خطهای راست همرسی خواهند بود. در حالی که این ویژگیهای ساده – ملازمت،همخطی، و همرسی – ویژگیهای تصویری (یعنی ویژگیهای ناوردا تحت عمل تصویر) هستند، اندازه‌های طول و زاویه، و نسبتهای چنین اندازه‌هایی، عموماً بر اثر تصویر کردن تغییر می‌کنند. مثلثهای متساوی‌الساقین یا متساوی‌الاضلاع را میتوان به مثلثهای مختلف‌الاضلاع تصویر کرد. پس اگر چه «مثلث» مفهومی متعلق به هندسه تصویری است، «مثلث متساوی‌الاضلاع» چنین نیست و فقط به هندسه متری تعلق دارد.
برسی و اثبات پنجمین اصل موضوع هندسه اقلیدسی
همانطور که میدانیم در هندسه اقلیدسی یکسری از مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنج اصل موضوع آنرا به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می‌کردند . اما اصل پنجم چندان بدیهی به‌نظر نمی‌رسید . بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط ، یک خط و تنها یک خط میتوان موازی با خط مفروض رسم کرد . برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را میتوان به‌عنوان یک قضیه ثابت کرد . در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند ، ولی نتیجه‌ای نگرفتند .
اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی :
لازم به توضیح است که تمامی اصول و مفاهیم هندسه اقلیدسی تنها شامل نظریات خود اقلیدس نمی‌شود بلکه اکثرا مجموعه‌ای جمع آوری شده از هندسه مصری‌ها و بابلی‌ها توسط اقلیدس است . هندسه اقلیدسی بر اساس پنج اصل موضوعه زیر شکل گرفته و طبقه بندی شده است :
اصل اول - از هر نقطه میتوان خط مستقیمی به هر نقطه دیگری کشید یا اینکه کوتاه‌ترین فاصله مابین دو نقطه یک پاره خط مستقیم است .
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را میتوان روی همان خط به‌طور نامحدود امتداد داد .
اصل سوم - میتوان دایره‌ای به هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد .
اصل چهارم - همه زوایای قائمه با هم مساوی هستند .
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط ، یک و تنها یک خط میتوان موازی با خط مفروض رسم کرد .
طبق تعاریف فعلی " اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت ، به هیچ وجه واجد صفت بدیهی نبود . در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل . بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سوال قرار گیرد . زیرا چنین تصور می‌شد که شاید بتوان آن را به‌عنوان یک قضیه ، و نه یک اصل از سایر اصول استخراج کرد ، یا حداقل به‌جای آن میتوان معادل قابل قبول‌تری قرار داد . در طول تاریخ بسیاری از ریاضیدانان از جمله خیام ، خواجه نصیرالدین توسی ، جان والیس ، لژاندر ، فور کوش بویوئی و ... تلاش کردند تا اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرند و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند ، اما تمام این تلاش‌ها بی‌نتیجه بود و در اثبات دچار خطا میشدند و یا به نوعی همین اصل را در اثبات خود بکار می‌بردند . سرانجام دالامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید ."
اما موضوع بسیار مهم این است که اشیا در دنیای فیزیکی با هندسه اقلیدسی سازگارند و هندسه‌های نااقلیدسی زیر مجموعه‌ای از هندسه اقلیدسی محسوب میشوند به طور مثال یک مکعب را در نظر بگیرید که در فضای اقلیدسی ، از نظر هندسی کاملا اقلیدسی است و اگر کره محیط یا محاط آن را رسم کنیم داخل سطح کره با هندسه هذلولی و خارج سطح کره با هندسه بیضوی برسی و مطالعه میشود و اینک برای اثبات اصل پنجم هندسه اقلیدسی چه کاری میتوان انجام داد . در این مبحث به استناد اصول و مفاهیم تعریف شده در حیطه هندسه اقلیدسی سعی در ارایه راهکاری برای اثبات این اصل می‌کنیم .
خط یا پاره خط BC و نقطه A خارج از آن خط و هر دو را روی صفحه P در نظر می‌گیریم . روی خط BC نقطه دلخواه D را انتخاب و دایره دلخواه C1 را رسم می‌کنیم البته شعاع این دایره میبایست کمتر از AD باشد . بدیهی است که این دایره ، خط BC را در دو نقطه 1 و 2 قطع خواهد کرد ( یعنی این دایره را باید چنان رسم کنیم که روی صفحه P بوده و این دو تقاطع بوجود آیند ) . از نقطه A دایره C2 را به شعاع AD رسم می‌کنیم . بدیهی است که این دایره ، محیط دایره C1 را در دو نقطه 3 و 4 قطع خواهد کرد ( یعنی این دایره را باید چنان رسم کنیم که روی صفحه P بوده و این دو تقاطع بوجود آیند ) و چون سه نقطه از هر دایره ( مرکز و نقاط 3 و 4 ) بر روی صفحه P واقع شده‌اند و این سه نقطه بر روی یک خط مستقیم نیستند ( برای اینکه محیط دایره C2 یک منحنی و کمان است ) ، مسلما این دو دایره بر روی صفحه P قرار گرفته‌اند ، زیرا شرط اینکه دو شکل در روی یک صفحه قرار گیرند این است که دست کم سه نقطه از آنها بروی آن صفحه واقع شده باشند و البته این سه نقطه بر روی خط مستقیمی واقع نشده باشند . اینک شرط اینکه دو خط با هم موازی باشند این است که اولا هر دوی آنها روی یک صفحه باشند و دوما اینکه آن دو خط زوایای مساوی ( ترجیحا قائمه ) در تقاطع با خط مستقیم متقاطع سومی داشته باشند . اینک عمود AE بر خط BC را رسم می‌کنیم و خط یا پاره خط FG را چنان رسم می‌کنیم که اولا دایره C2 را در دو نقطه 5 و 6 قطع کرده و از نقطه A مرکز دایره عبور کرده و دوما بر AE عمود باشد . همانطور که میدانیم خط FG دست کم دو نقطه بر روی صفحه P داشته و بر روی صفحه P واقع شده و با خط BC موازی است . حال اگر خط FG را حول نقطه A و روی صفحه P به چرخانیم زاویه FAE بزرگتر و یا کوچکتر از زاویه BEA شده و شرط دوم موازی بودن دو خط منتفی میشود و اگر FG در نقطه A حول محور AE دوران داشته باشد ، خط FG دو تقاطع 5 و 6 با دایره C2 را از دست می‌دهد ، بنابراین خط FG از صفحه P خارج و شرط اول موازی بودن دو خط منتفی میشود . پس میتوان فهمید و نتیجه گرفت که خط FG انحصاری بوده و از یک نقطه خارج یک خط ، یک و تنها یک خط میتوان موازی با خط مفروض رسم کرد .
اینک این سوال مطرح میشود که چرا ما باید این اصل پنجم را ثابت کنیم ؟
علت بر این است که در هندسه اقلیدسی هر پاره خط مستقیمی میتواند بیانگر یک عدد باشد که بیانگر طول واقعی آن بوده و مربع و مکعب آن مقدار درستی در محاسبات ریاضی است ولی در هندسه‌های نااقلیدسی چنین نیست برای اینکه طول واقعی یک منحنی میتواند یک عدد باشد ولی این منحنی نمی‌تواند حتما و لزوما بیانگر همان عدد باشد ، برای اینکه انحنا یافته است و طول منحنی بیشتر از فاصله دو سر منحنی میباشد و این دو مقدار با هم نامساوی هستند . به طور مثال در هندسه اقلیدسی یک مربع به ضلع 1 متر بیانگر یک متر مربع است و یک مکعب به ضلع 1 متر بیانگر یک متر مکعب است ولی در هندسه‌های نااقلیدسی این مقدار‌ها متفاوت است که نیاز به در نظر گرفتن ضریبی مبنی بر درصد خطا در محاسبات داریم . اصولا انحنا در هندسه‌های نااقلیدسی ، به طور کلی نسبت به یک خط راست اقلیدسی مشخص و نسبت به یک دایره با شعاع واحد واقع بر یک صفحه مسطح اقلیدسی سنجیده میشود و صحت هندسه‌های نااقلیدسی در گرو صحت هندسه اقلیدسی است .
در هندسه هذلولی مقادیر عددی مربوط به توان کمتر از مقادیر عددی مربوط به توان در هندسه بیضوی است .
اشکال فوق مقدار هندسی یک به توان دو را نشان می‌دهند که مقدار هندسی آن در هندسه اقلیدسی ( روی صفحه مسطح ) درست ولی در هندسه هذلولی ( درون سطح حجم ) کمتر و در هندسه بیضوی ( بیرون سطح حجم ) بیشتر است .
محمدرضا طباطبایی 8/9/86
http://www.ki2100.com
الحاقی مورخه 29/9/86
درک اصل توازی در هندسه اقلیدسی :
1- تعریف دو خط منطبق بر هم : دو خط را منطبق بر هم میدانیم که تمامی نقاط واقع بر روی هر دو خط در یک امتداد و یک راستا قرار گرفته باشند ، یعنی دو خط در مجموع خط واحدی را تشکیل دهند . به این انطباق ، انطباق درونی هم میتوان گفت .
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 9 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلودمقاله تاریخچه هندسه
